Zahlensysteme
Zahlensysteme sind ein maßgebender Bestandteil der Mathematik und bilden die Grundlage für jegliche Arten von numerischen Berechnungen. In der heutigen Welt begegnen uns verschiedene Zahlensysteme, von denen das dezimale System am bekanntesten ist. Doch wusstest Du, dass es noch zahlreiche andere Systeme gibt, die in verschiedenen Kulturen und Bereichen Anwendung finden?
Von den Basisprinzipien des dezimalen Zahlensystems bis hin zu exotischeren Systemen wie dem binären, oktalen oder hexadezimalen System werden wir jedes System detailliert betrachten. Es wird Dir erklärt, wie du Zahlen in verschiedenen Systemen darstellst, wie du sie umrechnest und wie zu sie beispielsweise in der Informatik anwendest.
Dezimalsystem
Zumindest ein Zahlensystem ist uns allen bekannt: das Dezimalsystem. Es bietet die Grundlage für unseren alltäglichen Umgang mit Zahlen. Es ist auf der Basis 10 aufgebaut und besteht aus zehn Ziffern, nämlich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Wahrscheinlich hat sich dieses System deshalb durchgesetzt, weil der Mensch 10 Finger hat.
Jede Ziffer hat einen bestimmten Wert, der sich je nach Position in der Zahl ändern kann. Betrachtet man die Zahlen von rechts nach links, so repräsentiert die am weitesten Rechts stehende Ziffer die Einerstelle – die nächste Stelle links davon die Zehnerstelle, dann die Hunderterstelle und so weiter.
Um den Wert einer Zahl im Dezimalsystem zu berechnen, multiplizieren wir den Wert jeder Ziffer mit dem entsprechenden Stellenwert und addieren sie dann zusammen. Zum Beispiel hat die Zahl „3867“ den Wert 3 * 10^3 + 8 * 10^2 + 6 * 10 + 3 * 10^0, was 3000 + 800 + 60 + 7 ergibt, also insgesamt 3867.
Des weiteren kann das Dezimalsystem auch in Brüchen oder Dezimalzahlen dargestellt werden. Bei Dezimalzahlen steht ein Trennzeichen, normalerweise ein Punkt oder ein Komma, für den Übergang von den ganzen Zahlen zu den Bruchteilen. Zum Beispiel repräsentiert die Zahl „3.54“ den Wert 3 + 5/10 + 4/100.
In vielen Bereichen des Lebens ist es uns durch das Dezimalsystem möglich, Zahlen darzustellen und zu berechnen, sei es beim Einkaufen, bei Finanztransaktionen oder beim Messen von Längen, Gewichten und vielem mehr.
Binärsystem – Binärcode
Hast du gewusst, dass Computer nur Nullen und Einsen verstehen? Möchte man in der digitalen Welt Informationen übermitteln (z.B. von einem PC auf einen anderen), so werden diese Daten als Zahlenfolgen in Nullen und Einsen umgewandelt. Diese Zahlenfolge wird als Binärcode/Binärsystem bezeichnet. Binärcode kann dazu genutzt werden, fast alle Informationen zu speichern bzw. zu übertragen – einschließlich Text, Bilder, Musik, Videos und vieles mehr.
Wie sieht Binärcode aus?
Bestimmt hast du folgendes schon einmal gesehen – eine Zahlenfolge von (meist) 8 Ziffern, bestehend aus Nullen und Einsen:
0100 0001
Doch was bedeuten diese Ziffern bzw. wie kann man sie lesen? Kümmern wir uns zunächst um die Frage, was diese Ziffern bedeuten. Im Binärsystem kann man nur zwei verschiedene Ziffern finden: Null und Eins. Möchte man Binärcodes abbilden, so kann man dies z.B. durch Spannung tun – die erste Stelle unseres Codes ist eine Null, was bedeutet, das keine Spannung anliegt (logisch falsch); die zweite Stelle unseres Codes ist eine Eins – dies bedeutet, dass Spannung anliegt (logisch wahr). Mit diesem Wissen kümmern wir uns nun um die zweite Frage – wie kann man diese Zahlenfolge lesen. Dazu muss zunächst gesagt werden, dass das Binärsystem als Basis die Zahl 2 hat (so wie das Dezimalsystem die Basis 10 hat) und, wie auch beim Dezimalsystem, jede Ziffer in der Zahlenfolge eine eigene Stelle einnimmt (Dezimalsystem: 1-Stelle, 10-Stelle, 100-Stelle, …). Dies kann mithilfe von Potenzen ganz einfach ersichtlich gemacht werden:
Beginnen wir mit der ersten Ziffer ganz rechts: die Eins im Binärcode befindet sich an Indexposition 0 – deshalb 20 – multipliziert man dann noch den Wert der aktuellen Stelle mit 20, so erhält man den Wert im Dezimalsystem (20 = 1 -> 1*1=1). Machen wir das für alle Positionen in unserem Code (0*2^7 + 1*2^6 + 0*2^5 + 0*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0) und addieren die einzelnen Ergebnisse, dann erhalten wir die Zahl 65. Wir haben nun also herausgefunden, dass die Zahl 65 in Binärschreibweise 0100 0001 lautet.
Aber wie bereits weiter oben erwähnt, können nicht nur Ziffern mittels Binärcode übertragen werden – auch Daten wie z.B. Texte oder Bilder. Suche doch mal im Internet nach einer ASCII-Tabelle und schau nach, ob du unseren Binärcode von oben vielleicht irgendwo in dieser Tabelle siehst. Bildet 0100 0001 vielleicht auch einen Buchstaben ab? 😉
Wozu muss ich das wissen?
Binärcode ist ein komplexes Konzept, das für viele Menschen schwer zu begreifen sein kann. Wenn man es jedoch versteht, kann man viele Aspekte moderner Technologie besser auffassen und nutzen. Diejenigen, die Binärcode nicht verstehen, können Schwierigkeiten haben, die Technologie und die Funktionsweise von Computern und digitalen Geräten zu verstehen. Außerdem wirst du sehen, dass du in den meisten Unterrichtsfächern mit Binärcode arbeiten wirst bzw. zumindest über ihn sprichst.
Wie kann ich mein Wissen über Binärcode vertiefen/erweitern?
Dein Wissensdurst ist noch nicht gestillt und du möchtest mehr über Binärcode erfahren? Hier nun ein paar Links, die sehr informative Inhalte teilen:
Oktalsystem
Das Oktalsystem ist ein Zahlensystem, das auf der Basis 8 aufgebaut ist (wir erinnern uns – das Dezimalsystem beruht auf Basis 10 und das Binärsystem auf Basis 2). Das Oktalsystem verwendet acht Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7. Jede Ziffer im Oktalsystem repräsentiert einen bestimmten Wert, der von ihrer Position in der Zahl abhängt.
Wie werden diese Zahlen gelesen oder berechnet?
Die rechte Seite einer Oktalzahl entspricht der Einerstelle, die nächste Stelle links davon der Achterstelle, dann der 64er-Stelle und so weiter. Der Wert einer Oktalzahl wird berechnet, indem man den Wert jeder Ziffer mit dem entsprechenden Stellenwert multipliziert und sie dann zusammenaddiert.
In dieser Abbildung wird die Oktalzahl 1234 als Beispiel verwendet. Die 4 repräsentiert die Einerstelle, die 3 die 8er-Stelle, die 2 die 64er-Stelle und die 1 repräsentiert die 512er-Stelle (=8*8*8). Möchte man nun den Wert der Oktalzahl als Dezimalzahl berechnen, so muss die jeweilige Stelle mit dem Stellenwert dieser multipliziert werden. Anschließend werden die einzelnen Ergebnisse addiert. Für dieses Beispiel würde das wie folgt aussehen:
1 * 8^3 + 2 * 8^2 + 3 * 8^1 + 4 * 8^0 = 512 + 128 + 24 + 4 = 668
Wozu muss ich das wissen?
Vor allem in der Informatik wird das Oktalsystem verwendet. Da jede Oktalziffer genau drei Binärziffern (Bits) repräsentiert (die Oktalziffer 7 steht z.B. für die Binärzahl 111), können dadurch größere Mengen an Binärdaten effizient verarbeitet und übertragen werden.
Wie kann ich mein Wissen über das Oktalsystem vertiefen/erweitern?
Im Internet findest Du zahlreiche Videos, die Dir das Oktalsystem erklären und Dir zeigen, wie Du Zahlen von einem System in ein anderes umwandeln kannst. Außerdem kann dir der Standard-Taschenrechner auf deinem PC helfen. Bei diesem ist es möglich, den Modus zu ändern (von Standard auf Programmierer) – damit können Zahlen ganz einfach in die verschiedenen Systeme umgerechnet werden.
Hexadezimalsystem
Du hast nun Zahlensysteme mit der Basis 10, der Basis 8 und der Basis 2 kennengelernt. Widmen wir uns nun dem letzten Zahlensystem, das für die IT relevant ist: das Hexadezimalsystem.
Was ist das Hexadezimalsystem?
Das Hexadezimalsystem ist auf der Basis 16 aufgebaut. Wie auch die anderen Systeme vorher hat jede Ziffer einen eigenen Stellenwert. Die rechte Seite einer Hexadezimalzahl entspricht der 1er-Stelle, die nächste Stelle links davon der 16-er Stelle, dann der 265-Stelle und so weiter.
Da das Hexadezimalsystem über zehn Ziffern hinausgeht, werden Buchstaben verwendet, um Werte größer als 9 darzustellen. A entspricht dem Wert 10, B dem Wert 11, C dem Wert 12, D dem Wert 13, E dem Wert 14 und F dem Wert 15.
In dieser Abbildung wird die Hexadezimalzahl 9B3F als Beispiel verwendet. Das F repräsentiert die Einerstelle, die 3 die 16er-Stelle, das B die 256er-Stelle und die 9 repräsentiert die 4096-er Stelle (=16*16*16). Möchte man nun den Wert der Hexadezimalzahl als Dezimalzahl berechnen, so muss die jeweilige Stelle mit dem Stellenwert dieser multipliziert werden. Anschließend werden die einzelnen Ergebnisse addiert. Für dieses Beispiel würde das wie folgt aussehen:
9 * 16^3 + 11 * 16^2 + 3 * 16^1 + 15 * 16^0 = 36864 + 2816 + 48 + 15 = 39 743
Wozu muss ich das wissen?
Wie auch schon das Binärsystem und das Oktalsystem spielt das Hexadezimalsystem in vielen technischen Bereichen, insbesondere in der Elektronik und der Informatik, eine große Rolle. Binärzahlen können durch das Hexadezimalsystem kompakt dargestellt werden, da eine Hexadezimalziffer genau vier Bits entspricht (F = 1111). Dies ist vor allem bei der Übertragung von großen Datenmengen ein großer Vorteil.
Des weiteren wird das Hexadezimalsystem in der Farbdarstellung, insbesondere im RGB-Farbmodell, verwendet, das in Bildschirmen und Grafikanwendungen weit verbreitet ist. Hier werden die Hexadezimalzahlen verwendet, um die Intensität der Rot-, Grün- und Blaukomponenten einer Farbe anzugeben (HIER findest du eine Farbtabelle mit Hex-Codes).
Wie kann ich mein Wissen über das Hexadezimalsystem vertiefen/erweitern?
Im Internet findest Du zahlreiche Videos und Beiträge, die Dir das Hexadezimalsystem erklären und Dir zeigen, wie Du Zahlen von einem System in ein anderes umwandeln kannst. Außerdem kann dir der Standard-Taschenrechner auf deinem PC helfen. Bei diesem ist es möglich, den Modus zu ändern (von Standard auf Programmierer) – damit können Zahlen ganz einfach in die verschiedenen Systeme umgerechnet werden.
Hier sind Beispiele für Videos, die Dir das Hexadezimalsystem einfach erklären:
Zahlensysteme umwandeln
Wie Du in den anderen Beiträgen vielleicht schon bemerkt hast, kann man jedes Zahlensystem in eine Zahl im Dezimalsystem umwandeln. Aber nicht nur das ist möglich – jede Zahl eines Systems kann in ein jedes andere System umgewandelt werden. In diesem Beitrag wirst Du lernen, wie Du Zahlen einfach umrechnen kannst.
Binärzahlen umrechnen
Wie Du im Beitrag für das Binärsystem bereits gelernt hast, hat jede Stelle einer Binärzahl einen Stellenwert. Des weiteren hast du schon gesehen, wie man eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umwandelt. Hier nun nochmal zur Wiederholung, wie du Schritt-für-Schritt vorgehst:
- Schreibe dir zunächst deine Binärzahl auf
- 1011 1001
- Schreibe nun (darunter oder darüber) den Stellenwert der jeweiligen Ziffer – für die erste Stelle rechts 2^0, für die nächste Stelle links davon 2^1, und so weiter…
- Multipliziere die Ziffer jeder Stelle mit dem entsprechenden Stellenwert
- Die rechte Ziffer (1) hat den Wert 1 * 2^0 = 1
- Die nächste Ziffer (0) hat den Wert 0 * 2^1 = 0
- Die nächste Ziffer (0) hat den Wert 0 * 2^2 = 0
- Die nächste Ziffer (1) hat den Wert 1 * 2^3 = 8
- Die nächste Ziffer (1) hat den Wert 1 * 2^4 = 16
- Die nächste Ziffer (1) hat den Wert 1 * 2^5 = 32
- Die nächste Ziffer (0) hat den Wert 0 * 2^6 = 0
- Die letzte Ziffer (1) hat den Wert 1 * 2^7 = 128
- Addiere die Ergebnisse der Stellen miteinander
- 1 + 0 + 0 + 8 + 16 + 32 + 0 + 128 = 185
- Super! Du hast nun eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umgewandelt
Es ist natürlich auch möglich, eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln:
- Schreibe Dir die Dezimalzahl auf und dividiere diese durch 2
- Den Rest notierst Du Dir auf der rechten Seite
- Das Ergebnis der ersten Division wird nun wieder durch 2 dividiert
- Den Rest notierst Du wieder
- Diese Schritte wiederholst Du, bis das Ergebnis 0 ergibt
- Schreibe Dir nun die Ziffern, die Du als Rest erhalten hast, auf – gehe dabei so vor, dass der letzte Rest die erste Ziffer in deiner Binärzahl wird
- Super! Du hast nun eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umgewandelt
Oktalzahlen umrechnen
Wie in den anderen Zahlensystemen auch, hat jede Position einer Oktalzahl einen eigenen Stellenwert. Nachdem du bereits die vorangegangenen Beiträge gelesen und die Binärzahl umgewandelt hast, sollte folgendes Prozedere bekannt sein:
- Schreibe Dir jede Stelle der Oktalzahl untereinander auf und multipliziere jede Stelle diese mit dem jeweiligen Stellenwert
- Das Ergebnis notierst du dir auf der Seite
- Wiederhole diesen Schritt für jede Position
- Addiere die Ergebnisse und du erhältst die fertige Dezimalzahl
- Super! Du hast nun eine Oktalzahl in eine Dezimalzahl umgewandelt
Nun wandeln wir die Dezimalzahl wieder in eine Oktalzahl um:
- Schreibe Dir die Dezimalzahl auf und dividiere diese durch 8
- Den Rest notierst Du Dir auf der rechten Seite
- Das Ergebnis der ersten Division wird nun wieder durch 8 dividiert
- Den Rest notierst Du wieder
- Diese Schritte wiederholst Du, bis das Ergebnis 0 ergibt
- Schreibe Dir nun die Ziffern, die Du als Rest erhalten hast, auf – gehe dabei so vor, dass der letzte Rest die erste Ziffer in deiner Oktalzahl wird
- Super! Du hast nun eine Dezimalzahl in eine Oktalzahl umgewandelt
Hexadezimalzahlen umrechnen
Zuletzt widmen wir uns der Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt. Wie das funktioniert, weißt du schon:
- Schreibe Dir jede Stelle der Hexadezimalzahl untereinander auf und multipliziere jede Stelle diese mit dem jeweiligen Stellenwert
- Das Ergebnis notierst du dir auf der Seite
- Wiederhole diesen Schritt für jede Position
- Addiere die Ergebnisse und du erhältst die fertige Dezimalzahl
- Super! Du hast nun eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umgewandelt
Nun wandeln wir die Dezimalzahl wieder in eine Hexadezimalzahl um:
- Schreibe Dir die Dezimalzahl auf und dividiere diese durch 16
- Den Rest notierst Du Dir auf der rechten Seite
- Das Ergebnis der ersten Division wird nun wieder durch 16 dividiert
- Den Rest notierst Du wieder
- Diese Schritte wiederholst Du, bis das Ergebnis 0 ergibt
- Schreibe Dir nun die Ziffern, die Du als Rest erhalten hast, auf – gehe dabei so vor, dass der letzte Rest die erste Ziffer in deiner Hexadezimalzahl wird
- Super! Du hast nun eine Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl umgewandelt
Haben wir jetzt alles gelernt?
Du kennst jetzt die Unterschiede zwischen den einzelnen Zahlensystemen und kannst diese untereinander Umrechnen. Wenn Du beispielsweise eine Hexadezimalzahl in eine Binärzahl umwandeln möchtest, kannst Du die Hexadezimalzahl zunächst in eine Dezimalzahl umwandeln und diese anschließend in eine Binärzahl. Wie Du eine Hexadezimalzahl direkt in eine Binärzahl umwandelst oder eine Oktalzahl mit einer weiteren Oktalzahl addierst, lernst Du im Unterricht.
Zahlreiche Videos, die dir das Umwandeln genauer erklären, findest du außerdem mit einer Suche im Internet.